■フーリエ解析（10）：　２次元離散フーリエ変換を体験しよう
　　　　　　　　　　　　　　〜 画像データ処理の例 〜

　関数 f(x, y)の２次元離散フーリエ変換（DFT）、離散フーリエ逆変換（IDFT）は次式で定義されます。

F (k, l) = ��x=0M-1��y=0N-1 f (x, y)WM xk WN yl　　　　　　・・・（式1-1） 　　f (x, y) = (1/(MN))��k=0M-1��l=0N-1 F (k, l)WM -xkWN -yl 　・・・（式1-2） 　　ここで、 　　　WM = e-j2π/M, 　　　WN = e-j2π/N

　次のアプレットは、画像データを２次元信号 f(x, y) [ x = 0, 1, .., M-1 ] [ y = 0, 1, 2, .., N-1 ]と考えて、２次元離散フーリエ変換を行い、変換結果 F(k, l)の振幅スペクトル｜F(k, l)｜の強度を濃度値で示した図を表示します。
　また、F(k, l)を逆変換して画像データを復元します。


・逆変換時には F(k, l)の低周波側から指定された次数 K（≦ N）を低周波成分側からとって、（式1-2）で計算されます（ローパスフィルタ、直流成分＋K²項）。
・K = N の時は完全に元の画像が復元されますが、K < N の時はぼけた画像となります。

　上のアプレットでは、離散フーリエ変換の他に、離散コサイン変換による画像処理も行うことができます。
　離散コサイン変換の計算式は次のとおりです。

Fc (k, l) = C(k)C(l)��x=0M-1��y=0N-1 f (x, y) cos[(2x+1)kπ/(2M)] cos[(2y+1)lπ/(2N)] 　　f (x, y) = (4/(MN))��k=0M-1��l=0N-1C(k)C(l) Fc (k, l) cos[(2x+1)kπ/(2M)] cos[(2y+1)lπ/(2N)] 　　ここで、 　　　C(p) = 1/√2　（p = 0） 　　　　　　= 1　　　　（p ≠ 0）

　離散コサイン変換は実数のみで演算でき、また高い圧縮率が得られることから、JPEGなどの画像圧縮アルゴリズムで頻繁に利用されています。