「GPS簡易シミュレーションプログラム」
において、色々な時刻での位置検出を試みると時々「誤差過大」が発生することがあります。このプログラムでは誤差（地表からの高さ方向距離）が10kmを超えるとこのメッセージが出力されますが、なぜこのような大きな誤差が発生するのでしょうか。
受信機内蔵の時計の誤差はプログラムの初期設定では３μs(百万分の３秒)に設定されています（画面操作で変更可能）ので、距離にして
⊿ｒ ＝ ３０万km/s x 3μs = 30x104 x 3x-6 = 0.9km
程度の誤差です。３つの衛星を中心とするそれぞれの球面の半径が⊿ｒだけ増加（あるいは減少）した時に、３球面の交点座標がいくら変化するかを考察してみましょう。
・Pi(Xi, Yi, Zi),i=1,2,3 を各衛星の位置、Po(Xo, Yo, Zo)を受信機の位置とし、衛星と受信機との距離を Ri(i=1,2,3)とします。 ・すると次式が成り立ちます。 Ri2 =（Xi-Xo)2 + (Yi-Yo)2 + (Zi-Zo)2 (i=1,2,3) ・・・(式１) ・半径誤差（距離の誤差）⊿ｒによる交点座標誤差を（⊿x, ⊿y, ⊿z）とすると、（式１）より（微分して） Ri⊿ｒ = （Xo-Xi)⊿x + (Yo-Yi)⊿y + (Zo-Zi)⊿z (i=1,2,3) ・・・(式２） ⊿ｒ = （[Xo-Xi)/Ri]⊿x + [(Yo-Yi)/Ri]⊿y + [(Zo-Zi)/Ri]⊿z (i=1,2,3) ・・・(式２’) 右辺は単位ベクトル[Xo-Xi)/Ri, (Yo-Yi)/Ri, (Zo-Zi)/Ri]と誤差ベクトル[⊿x,⊿y,⊿z]の内積ゆえ、 両者のなす角をθi、誤差ベクトルの大きさを⊿eとすると ⊿ｒ = ⊿e・cosθi (i=1,2,3) ・・・(式３） ・(式３）で、⊿ｒ、⊿eは各衛星に共通であり、従って角θi も各衛星に共通の値となります。 すなわち、誤差ベクトルは各衛星と受信機を結ぶ３ベクトル（線分）に対して同じ角度となります。 ・(式２）の３元連立方程式を解くと（⊿x, ⊿y, ⊿z）が求められます。 R1⊿ｒ = （Xo-X1)⊿x + (Yo-Y1)⊿y + (Zo-Z1)⊿z R2⊿ｒ = （Xo-X2)⊿x + (Yo-Y2)⊿y + (Zo-Z2)⊿z R3⊿ｒ = （Xo-X3)⊿x + (Yo-Y3)⊿y + (Zo-Z3)⊿z すなわち、 ｜（R1⊿ｒ) (Yo-Y1) (Zo-Z1)｜ ｜（R1⊿ｒ) (Yo-Y2) (Zo-Z2)｜ ｜（R1⊿ｒ) (Yo-Y3) (Zo-Z3)｜ ⊿x = ―――――――――――――― , ⊿y = …, ⊿z = …（同様） ｜ （Xo-X1) (Yo-Y1) (Zo-Z1)｜ ｜ （Xo-X2) (Yo-Y2) (Zo-Z2)｜ ｜ （Xo-X3) (Yo-Y3) (Zo-Z3)｜ ここで分母の行列式はベクトル V1(P1Po), V2(P2Po), V3(P3Po)のスカラー３重積 V1・(V2xV3)であり、 V1,V2,V3が同一平面内にあるときは外積(V2xV3)とV1が直交し、分母＝０となります。 従って、これら３ベクトルがほぼ同一平面内にあるときは（⊿x,⊿y,⊿z）が非常に大きくなり、交点座標 が本来の位置から大きくずれることになります。 ・このことは(式３）からも知ることができます。 ３衛星と受信機が同一平面上にある場合を考えます。この時、誤差ベクトルはこの平面に垂直な方向になります。 従ってθi = 90°、cosθi = ∞となって、(式３)より⊿eが極端に大きくなります。これが「誤差過大」の原因です。 ・今回のプログラムでは受信可能衛星から実際に位置計算（測位）に使用する衛星を無作為に３個選定していますので、 このような現象がおこります。 (注）実は俯角（β）を90度に設定すると、以後上記の状態をできるだけ回避する処理が行われ、位置誤差の増大を 抑えるようになっています。