■年金の数学（２）：　各種係数の算式の誘導

　年金や預金の積立額、受給額（受取額）の計算に便利な次の係数があります。
　　・終価係数： k1 = (1 + r)n
　　・現価係数： k2 = 1/(1 + r)n　　[ = 1/k1 ]
　　・資本回収係数： k3 = r (1 + r)n/[(1 + r)n - 1]
　　・年金現価係数： k4 = [(1 + r)n - 1]/[r (1 + r)n]　　[ = 1/k3 ]
　　・年金終価係数： k5 = [(1 + r)n - 1]/r
　　・減債基金係数： k6 = r/[(1 + r)n - 1]　　[ = 1/k5 ]
　ここで、ｒ：年利率、ｎ：年数　です。

　これらはいずれも資本を複利運用した場合の金額、利率、年数の関係を表すものです。　通常は係数表を使用することにより、複雑な計算を行うことなく、簡単に必要な数値を求めることができますが、ここではこれらの係数のうち、終価係数（k1）、資本回収係数（k3）および年金終価係数（k5）の計算式を誘導してみましょう。　係数 k2、k4、k6は定義よりそれぞれ k1、k3、k5の逆数です。
・終価係数： k1
　　現在手元にある元金（S0）を複利運用した場合の、一定期間（ｎ）後の元利合計を求める際の係数。
　　i 年後の元利合計をSiとすると、
　　　S1 = S0(1 + r)
　　　S2 = S1(1 + r) = S0(1 + r)2
　　　・
　　　・
      Sn = Sn-1(1 + r) = S0(1 + r)n
　　故に、定義式：　Sn = k1・S0 より
　　　k1 = Sn/S0 = (1 + r)n

・資本回収係数： k3
　　現在手元にある元金（S0）を複利運用しながら一定期間（ｎ）で取り崩す場合の、
　　毎年の受取額（ｔ）を求める際の係数。
      S0      1      2      3      4                        n-1     n  年数
       |------+------+------+------+------+------+--       --+------|
              t      t      t      t                         t      t  受取り
　　１年後の元利合計 S1 = S0(1 + r)
　　　この中から年金（ｔ）を受け取ると、残りは S1-t
　　２年後の元利合計 S2 = (S1-t)(1 + r) = S0(1 + r)2 - t(1 + r)
　　　この中から年金（ｔ）を受け取ると、残りは S2-t
　　３年後の元利合計 S3 = (S2-t)(1 + r) = S0(1 + r)3 - t(1 + r)2 - t(1 + r)
　　　この中から年金（ｔ）を受け取ると、残りは S3-t
　　・
　　・
　　ｎ年後の元利合計 Sn = (Sn-1-t)(1 + r)
                        = S0(1 + r)n - t[(1 + r)n-1 + … + (1 + r)2 + (1 + r)]
　　　この中から年金（ｔ）を受け取ると、残りは Sn-t = 0、すなわち Sn = t
　　これより、
　　　S0(1 + r)n = t[(1 + r)n-1 + … + (1 + r)2 + (1 + r) + 1]
　　右辺の[ ]内は初項１、公比(1+r)の等比数列の和であるので、
　　　S0(1 + r)n = t[1 - (1 + r)n]/[1 - (1 + r)]
　　　           = t[(1 + r)n - 1]/r
　　故に、定義式：　t = k3・S0 より
　　　k3 = t/S0 = r(1 + r)n/[(1 + r)n - 1]

・年金終価係数： k5
　　複利運用しながら一定金額（ｔ）を毎年（期末に）積み立てる場合の、
　　一定期間（ｎ）後の元利合計（Sn）を求める際の係数。
       0      1      2      3      4                        n-1     n  年数
              t      t      t      t                         t      t  積立て
       |------+------+------+------+------+------+--       --+------|
                                                                    Sn 元利合計
　　１年目の期末に積み立てた金額ｔのｎ年後の元利合計A1は
　　　A1 = t(1 + r)n-1
　　２年目の期末に積み立てた金額ｔのｎ年後の元利合計A2は
　　　A2 = t(1 + r)n-2
　　・
　　・
　　ｎ-１年目の期末に積み立てた金額ｔのｎ年後の元利合計An-1は
　　　An-1 = t(1 + r)
　　ｎ年目の期末に積み立てた金額ｔのｎ年後の元利合計Anは
　　　An = t
　　従って、これらを合計すると
　　　Sn = A1 + A2 + ・・・+ An-1 + An
　　　   = t[(1 + r)n-1 + (1 + r)n-2 + … + (1 + r) + 1]
         = t[1 - (1 + r)n]/[1 - (1 + r)]
         = t[(1 + r)n - 1]/r
　　故に、定義式：　Sn = k5・t より
　　　k5 = Sn/t = [(1 + r)n - 1]/r 

（注）これらの３種の係数には、k1 = k3・k5 なる関係があります。
年金の数学（１）：　各種係数表

ホーム