■フーリエ解析（１）：　フーリエ級数とは

　フランスの数学者 フーリエ（Fourier、1764-1830）は熱伝導問題の解析の過程で、「任意の周期関数は三角関数の和で表される」という仮定の下で、周期関数を三角関数を使って級数展開する方法(フーリエ級数展開)を考案しました。
　フーリエ級数(Fourier series) とは、関数から導かれ、その関数自身に収束する三角級数のことです。
　周期が２πの周期関数 f(t)を次の三角級数：

f (t) = a0/2 + ��n=1∞ (ancosnt + bnsinnt )　・・・（式1）

で表す時、係数 a_n、b_n（フーリエ係数と呼ばれる）は次式で計算することができます。

an = (1/π)∫-ππ f (t)cosnt dt	( n = 0, 1, 2, 3, ..)	・・・（式2-1）
bn = (1/π)∫-ππ f (t)sinnt dt	( n = 1, 2, 3, ..)	・・・（式2-2）

　フーリエ級数を有限項(N)で打ち切ると、関数f(t)の三角関数による近似式が得られます。
　　f(t) ≒ a₀/2 + ��_n=1^N (a_ncosnt + b_nsinnt )

　フーリエ係数 a_n、b_n が（式2-1）、（式2-2）で求められることは、以下のようにして理解できます（三角関数の直交性について を参照）。
　（式1）の両辺を t = -π〜+πの範囲で積分すると（以下、積分は-π〜+πの範囲の定積分）、
　　∫f(t)dt = ∫(a₀/2)dt + ��_n=1^∞ (a_n∫cosnt dt + b_n∫sinnt dt)

　　　　　　　 = a₀/2・2π = π・a₀

　　∴a₀ = (1/π)∫f(t)dt

　次に、（式1）の両辺にcosmt を掛けて t = -π〜+πの範囲で積分すると、
　　∫f(t)cosmt dt = ∫(a₀/2)cosmt dt + ��_n=1^∞ (a_n∫cosnt cosmt dt + b_n∫sinnt cosmt dt)

　　　　　　　　　 = π・a_m

　　∴a_m = (1/π)∫f(t)cosmt dt
　　この式は、m = 0 に対しても成立することがわかります。

　同様に、（式1）の両辺にsinmt を掛けて t = -π〜+πの範囲で積分すると、
　　∫f(t)sinmt dt = ∫(a₀/2)sinmt dt + ��_n=1^∞ (a_n∫cosnt sinmt dt + b_n∫sinnt sinmt dt)

　　　　　　　 = π・b_m

　　∴b_m = (1/π)∫f(t)sinmt dt

・f(t)が偶関数の時は b_n = 0、奇関数の時は a_n = 0 となります。

　任意の自然数 m, n に対して以下の式が成り立ちます。
　ここで、積分はいずれも -π〜+πの範囲の定積分、[F(t)]は F(π) - F(-π)を意味するものとします。
　・∫sinmt dt = 0

　・∫cosmt dt = 0

　・∫sinmt sinnt dt = π(m = nのとき), 0(m ≠ nのとき)

　・∫cosmt cosnt dt = π(m = nのとき), 0(m ≠ nのとき)

　・∫sinmt cosnt dt = 0

［証明］
　・∫sinmt dt = [-cosmt/m] = 0

　・∫cosmt dt = [sinmt/m] = 0

　・∫sinmt sinnt dt
　　　= (1/2)∫｛cos(m-n)t - cos(m+n)t ｝ dt
　　　= π　(m = nのとき), 0(m ≠ nのとき)

　・∫cosmt cosnt dt
　　　= (1/2)∫｛cos(m-n)t + cos(m+n)t ｝ dt
　　　= π　(m = nのとき), 0(m ≠ nのとき)

　・∫sinmt cosnt dt
　　　= (1/2)∫｛sin(m-n)t + sin(m+n)t ｝ dt
　　　=0