■フーリエ解析（４）：　複素フーリエ級数

周期 T の周期関数 f(t)のフーリエ級数：

f (t) = a0/2 + ��n=1∞ (ancos(2πnt/T) + bnsin(2πnt/T) )　　・・・（式1） 　　an = (2/T)∫-T/2T/2f (t)cos(2πnt/T) dt　　( n = 0, 1, 2, 3, ..)　・・・（式2-1） 　　bn = (2/T)∫-T/2T/2f (t)sin(2πnt/T) dt 　　( n = 1, 2, 3, ..)　　・・・（式2-2）

を、複素数を用いて書き換えてみましょう。

オイラー（Euler）の公式：

e jθ = cosθ + j sinθ　（j ： 虚数単位） 　　e-jθ = cosθ - j sinθ

より、

cosθ = (ejθ + e-jθ) / 2 　　sinθ = (ejθ - e-jθ) / (2・j)

が得られます。

さて、フーリエ係数 a_n と b_n を用いて、次の複素数 c_nを定義します。
　　c₀ = a₀/2

　　c_n = (a_n + b_n/j)/2 = (a_n - j b_n)/2　　（ n > 0 ）

　　c_n = (a_-n - b_-n/j)/2 = (a_-n + j b_-n)/2　　（ n < 0 ）

これらの式に（式2-1）、（式2-2）を代入すると、
　　c₀ = (1/T)∫_-T/2^T/2 f(t) dt

　　c_n = (1/T)∫_-T/2^T/2 f(t)｛cos(2πnt/T) - j sin(2πnt/T) dt

　　　 = (1/T)∫_-T/2^T/2 f(t)e^-j(2πnt/T) dt　　（ n > 0 ）

　　c_n = (1/T)∫_-T/2^T/2f(t)｛cos(-2πnt/T) + j sin(-2πnt/T) dt

　　　 = (1/T)∫_-T/2^T/2f(t)e^-j(2πnt/T) dt　　（ n < 0 ）

となります。
従って、c_nは任意の整数nに対して次式で統一的に表現できます。
　　c_n = (1/T)∫_-T/2^T/2f(t)e^-j(2πnt/T) dt

あるいは、角振動数（角周波数）ω = 2π/T を用いて書き直すと、
　　c_n = (1/T)∫_-T/2^T/2f(t)e^-jnωt dt

このc_nを用いて、元の関数f(t)のフーリエ級数展開を表すと次のようになります。
　n > 0 に対して、
　　c_n = (a_n + b_n/j)/2 = (a_n - jb_n)/2

　　c_-n = (a_n - b_n/j)/2 = (a_n + jb_n)/2

であるので、
　　a_n = (c_n + c_-n)
　　b_n = j (c_n - c_-n)

　　f(t) = c₀ + ��_n=1^∞ ｛(c_n + c_-n)cos(2πnt/T) + j (c_n - c_-n)sin(2πnt/T) ｝

　　　　 = ��_n=-∞^∞ ｛c_ncos(2πnt/T) + j c_nsin(2πnt/T) ｝

　　　　 = ��_n=-∞^∞ c_ne ^j2πnt/T


以上により、周期 T（= 2π/ω） の周期関数 f(t)に対する複素フーリエ級数および複素フーリエ係数 c_nは次式で表すことができます。

f (t) = ��n=-∞∞ cne jnωt 　　cn = (1/T)∫-T/2T/2 f (t)e-jnωt dt

c_n はスペクトルとも呼ばれます。

(注1）複素フーリエ級数においては、関数f(t)は実数値のみならず、複素数値も取ることができます。
(注2）スペクトル（spectrum）とは、複雑な情報や信号をその成分（周波数）に分解し、成分ごとの大小に従って配列したものです。