■相関係数の値はなぜ　[ -1 〜 +1 ] の範囲か（証明）

　相関係数：ｒ（correlation coefficient）は２つの変数間の相関すなわち類似性を示す指標で、次式で定義されます。

　実数データ：(xi, yi), i = 1, 2, .., n に対して
　　r = Σ(xi-xm)(yi-ym)/sqrt[Σ(xi-xm)²・Σ(yi-ym)²]
　　ここで、
　　　�煤F i = 1 から i = n までの総和
　　　xm： x の平均、xm = Σxi/n
　　　ym： y の平均、ym = Σyi/n
　　　sqrt: 平方根

　相関係数の値の範囲の証明には、 Schwartz（シュワルツ）の不等式（下記注）や多次元ベクトルの内積を利用した方法などが知られていますが、ここでは２次関数の判別式を利用する簡単な方法を紹介します。

|r| ≦ １ の証明

変数ｔを含む次の式：
　Q = Σ[(xi-xm) + t(yi-ym)]2
を展開すると、変数ｔに関する２次式が得られます。
　Q = Σ(xi-xm)2 + 2tΣ(xi-xm)(yi-ym) + t2Σ(yi-ym)2

Qの値は実数値の２乗和ゆえ、正または０です。
従って、上記２次式の判別式Dは負または０でなければなりません。
　D = [Σ(xi-xm)(yi-ym)]2 - Σ(xi-xm)2Σ(yi-ym)2 ≦ 0

　[Σ(xi-xm)(yi-ym)]2 ≦ Σ(xi-xm)2Σ(yi-ym)2

  |Σ(xi-xm)(yi-ym)| ≦ sqrt[Σ(xi-xm)2・Σ(yi-ym)2]

  |Σ(xi-xm)(yi-ym)|/sqrt[Σ(xi-xm)2・Σ(yi-ym)2] ≦ 1

よって、
  -1 ≦ Σ(xi-xm)(yi-ym)/sqrt[Σ(xi-xm)2・Σ(yi-ym)2] ≦ 1

となり、相関係数の値が -1〜+1の範囲であることが証明されました。

(注）Schwartz（シュワルツ）の不等式：
　　　　　�蚤i²�巴i² ≧ (�蚤i・bi)²
　　において、ai = xi-xm, bi = yi-ym とおけば直ちに証明できます。
　　この不等式は Cauchy-Schwarz（コーシー＝シュワルツ）の不等式とも呼ばれています。