■相関係数の値が +1 または -1 になるのはどんな時か

　相関係数：ｒ（correlation coefficient）は２つの変数間の相関すなわち類似性を示す指標で、次式で定義されます。
　実数データ：(xi, yi), i = 1, 2, .., n に対して
　　r = Σ(xi - xm) (yi - ym) / sqrt[Σ(xi - xm)²・Σ(yi - ym)²]　　・・・（式１）

　　ここで、
　　　�煤F i = 1 から i = n までの総和
　　　xm： x の平均、xm = Σxi/n
　　　ym： y の平均、ym = Σyi/n
　　　sqrt: 平方根

　相関係数の値の範囲が[ -1 〜 +1 ] であることは
　　相関係数の値はなぜ　[ -1 〜 +1 ] の範囲か（証明）

で示されていますが、ここでは値が +1 または -1 になるのはどんな時かを考えてみます。

　さて、
　　ai = xi - xm
　　bi = yi - ym

と置くと、
　　r = Σai bi / sqrt[Σai²・Σbi²]

となりますが、
　　a = (a1, a2, .., an)
　　b = (b1, b2, .., bn)

をｎ次元のベクトルと考えると、Σai bi はそれらの内積であり、従って
　　Σai bi = ｜a｜｜b｜cosθ
　　　　　　 = sqrt[Σai²]・sqrt[Σbi²] ・cosθ

　　ここで、θ： ２つのベクトルのなす角

　∴ r = cosθ　　　・・・（式２）

となります。

　この式からも相関係数の値の範囲が[ -1 〜 +1 ] であることがわかりますが、特に値が +1 あるいは -1 になるのはθ = 0°またはθ = 180°の時であることがわかります。

　θ = 0°とは、ベクトル a、b が互いに平行で同方向であること、すなわち k を正の定数として
　　bi = k ai
　or
　　yi - ym = k (xi - xm)

また、θ = 180°とは、ベクトル a、b が互いに平行で逆方向であること、すなわち
　　bi = -k ai
　or
　　yi - ym = -k (xi - xm)
を意味します。

　以上により、相関係数の値が +1 または -1 になるのは（xi, yi）が１直線上にある時、即ち
　　yi - ym = c (xi - xm)　　　・・・（式３）
　　ここで　c :　任意の定数（c ≠ 0）
が成立する時であることがわかります。

　（xi, yi）が（式３）を満たす時、これを（式１）に代入すると、
　　r = Σ[(xi - xm) c(xi - xm)] / sqrt[Σ(xi - xm)²・Σ[c(xi - xm)]²]
　　　= c / ｜c｜
　　　= ±１
となることが確認できます。