■CIE XYZ表色系(7): xy色度とuv色度の相互座標変換

 xy色度図(CIE 1931)における色度座標(x, y)と、代表的な均等色度図であるuv色度図(CIE 1960)における色度座標(u, v)の相互座標変換を行います。
 画面左側のxy色度図上の点(Point)、直線(Line)、円(Circle)を、右側のuv色度図上に座標変換(射影)します。 逆に、uv色度図上の点、直線、円をxy色度図上に変換することもできます。



・"Point"、"Line"、"Circle" で図形の種類を選択します(モーダル)。
・"Point" の場合はその位置をマウスでクリックします。
・"Line" の場合は始点と終点をマウスでクリックします。
・"Circle" の場合は中心と円上の1点をマウスでクリックします。
・"Delete" で、最後に入力された図形を削除します。
・"Clear" で、全図形を削除します。

 直線は直線に、円は楕円(一般的には2次曲線)に変換されます。

[ 参考1 ] (x, y) と (u, v)の相互変換式
 ・(x, y)--->(u, v)の変換式
   u = 4x / (-2x + 12y + 3)
   v = 6y / (-2x + 12y + 3)

 ・(u, v)--->(x, y)の変換式
   x = 3u / (2u - 8v + 4)
   y = 2v / (2u - 8v + 4)

[ 参考2 ] 直線が直線に変換されるのはなぜか
 ・(u, v)--->(x, y)の変換式を次のように置きます。
   x = au / (c1u + c2v + c3)
   y = bv / (c1u + c2v + c3)

 ・点(x,y)を直線L:Ax + By + C = 0 上の点とすると、
   Aau/(c1u + c2v + c3) + Bbv/(c1u + c2v + c3) + C = 0
   Aau + Bbv + C(c1u + c2v + c3) = 0
   (Aa + Cc1)u + (Bb + Cc2)v + Cc3 = 0

 ・従って、(u,v)も直線上を移動します。
  尚、(u, v)--->(x, y)の変換式を次のようにより一般化した場合でも同様です。
   x = (a1u + a2v + a3) / (c1u + c2v + c3)
   y = (b1u + b2v + b3) / (c1u + c2v + c3)
[ 参考3 ] 円が2次曲線に変換されるのはなぜか
 ・(u, v)--->(x, y)の変換式を次のように置きます。
   x = (a1u + a2v + a3) / (c1u + c2v + c3)
   y = (b1u + b2v + b3) / (c1u + c2v + c3)

 ・これを、中心(x0,y0)、半径rの円の方程式:
   (x-x0)2 + (y-y0)2 - r2 = 0
  に代入すると、
   [(a1u + a2v + a3)/(c1u + c2v + c3) - x0]2 + 
      [(b1u + b2v + b3)/(c1u + c2v + c3) - y0]2 - r2 = 0

 ・(c1u + c2v + c3)の2乗を掛けて整理すると、(u,v) に関する次の2次式が得られます。
   Au2 + 2Huv + Bv2 + 2Gu + 2Fv + C = 0

 ・従って、(u,v) は2次曲線(円錐曲線)を描きます。
CIE XYZ表色系(8): より均等なuv色度図を求めて
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