■フィボナッチ数列（８）：　開平法と黄金比・黄金角

　黄金比 φ：
　　φ　＝　[ 1 + sqrt(5) ] / 2 （ = 1.618･･･）
と、黄金角 α：

α	＝　360 / ( 1 + φ )	＝　360 / φ2
	＝　137.507764･･･ °

の小数による多数桁の近似値を求めるには、数値 ５ の平方根（の小数による多数桁表示）が必要です。

　実は、先にUpした「開平法（筆算による平方根の計算）」は元々このために作成したものです。

　黄金比φの計算式は、
　　φ　＝　[ 1 + sqrt(5) ] / 2
　　　　＝　0.5　＋　sqrt(1.25)
　　　　＝　0.5　＋　1.1180･･･
　　　　＝　1.618･･･
のようになり、従って sqrt(1.25)の値を計算して、小数点以下第1位の数値に「5」を加えればよいことが分かります。

　また、黄金角αの計算式は、
　　α　＝　360 / ( 1 + φ )
　　　　＝　180 x [ 3 - sqrt(5) ]
　 or
　　α　＝　540　−　sqrt(162000)
となり、5 または 162000 の平方根が求められれば黄金角αは容易に計算できます。

　「開平法（筆算による平方根の計算）」のプログラムに、黄金比、黄金角の計算機能を追加しました。

　・数値入力欄に GR と入力すると、黄金比（Golden Ratio）を計算し、表示する。
　・数値入力欄に GA0 または GA1 と入力すると、黄金角（Golden Angle）を計算し、表示する。
　・答えを小数点以下50桁毎に改行したい時は、入力数値欄に「xxx,50」のように（カンマ50）指示する。



（参考）フィボナッチ数列の隣り合う項の比：　Fn/Fn-1
　　　Fn/Fn-1 はn→∞のとき、黄金比φに収束することが知られている。
　　・F 20/F 19 ：　小数点以下第 7位まで黄金比に一致
　　・F 50/F 49 ：　小数点以下第18位まで黄金比に一致
　　・F 100/F 99 ：　小数点以下第39位まで黄金比に一致
　　・F 200/F199 ：　小数点以下第81位まで黄金比に一致
　　・F 500/F499 ：　小数点以下第208位まで黄金比に一致
　　・F1000/F999 ：　小数点以下第417位まで黄金比に一致