■（続々々）音の出所はどこ？　[相互相関法による音源位置の同定]

　２次元平面上における音源の位置は、周囲に設置された３個のマイクに音が到達する時間差から推定できます。

　マイクの位置をM1、M2、M3とすると、音源位置はM1、M2を焦点とする双曲線1-2と M1、M3を焦点とする双曲線1-3の交点となります。

　２つのマイクM1とM2（あるいはM1とM3）に音が到達する時間差の算出法には幾つかの方法が知られていますが、ここでは相互相関関数を用いた到達時間差（Delay Of Arrival：DOA）算出法を利用して、音源位置を推定するアプレットを紹介します。

　２つの信号波形 x1(t) と x2(t) の相互相関関数（Cross Correlation Function）は次式で定義されます。
　　φ_1,2(τ) = (1/N)��_n=0^N-1 x₁ (t) x₂ (t+τ)

　波形 x1(t)と遅れ時間τだけずらした波形x2(t+τ)において、それぞれ対応する部分を掛け合わせて累積し、平均化する処理を行い、両者の類似度を調べます。

　特に、x2(t) = x1(t) の時は、自己相関関数と呼ばれます。
　　φ_1,1(τ) = (1/N)��_n=0^N-1 x₁ (t) x₁ (t+τ)

　自己相関関数φ_1,1(τ)はτ＝０で最大値をとることが分かっています。

　２つのマイクに音が到達する時間差を算出する場合には、x2(t)はx1(t)と比べて音波が両マイクから音源までの距離差に相当する時間τsだけ遅れた（あるいは進んだ）信号となっているので、
　　x2(t) = x1(t-τ_s)

従って、相互相関関数は
　　φ_1,2(τ) = (1/N)��_n=0^N-1 x₁ (t) x₁ (t+τ-τ_s)

　　　　　　　= φ_1,1(τ-τ_s)

自己相関関数はτ＝０で最大値をとるので、上記の相互相関関数φ_1,2(τ)では、τ＝０よりτsずらしたτ＝τsで最大値をとることになります。

従って、両波形の相互相関関数を計算して、その値が最大となる時間差τ_sを求めれば、それが音の到達時間差になります。

具体的な計算手順は次のとおりです。

１．入力波形：s₁(n)、s₂(n) [n = 0, 1, .., N-1]の相互相関関数を求める。

　　　φ_1,2(h) = (1/N)��_k=0^N-1 s₁(k) s₂((k+h) mod N)

　　　ここで、　h　：　0, 1, .., N-1

２．φ_1,2(h)が最大となるサンプル差（位相差）hを求めて、δ_i,jとおく。

　　　δ_1,2 = argmax_h[φ_1,2(h)]

３．到達時間差（DOA)を算出する。
　　　τs_1,2 = δ_1,2 / Fs

　　　ここで、　Fs　： サンプリング周波数（Hz）

・平面上（音場）にマイクが３個設置されています。
・ここで音源の位置をマウスでクリックします。
　　この点を通り、マイク位置１，２を焦点とする双曲線が青色で表示されます。
・各マイクで受音された音声データ（波形）が画面右上に表示されます。
・「計算」ボタンを押すと、この音声データから相互相関法を利用して到達時間差、音源位置が算出されて画面左上に表示されます（ピンク）。
　　２本の双曲線の交点が算出（推定）された音源位置です。
・相互相関関数φ_i,j(h)の値が画面左下に、グラフが画面右下に表示されます。



・マイク位置を変更することができます。
・「area表示」ボタンを押すと、音源位置の候補点が２つ（双曲線の交点が２個）ある領域が表示されます。
　　この領域で音が発生すると、３個のマイクではどちらが音源か判定できません。
・サンプリング周波数 Fs = 8200Hz、データ数 N = 1024としています。
・生成される音声データは音源から各マイクまでの距離にほぼ等しい時間遅れを含む波形にしています。

　２つのマイクM1、M2に対して、音源がM1に近い場合はM2には遅れて音波が到達し、前述の到達時間差τs_1,2は正の値となります。
　逆に音源がM2に近い場合はM2には早く音波が到達しますが、前述の到達時間差τs_1,2はこの場合も正の値となります。

　音源が２つのマイクのいずれに近いかはδ_1,2の値の範囲で判断できます。
　　・δ_1,2 < N/2 の時　---> マイク１に近い
　　・δ_1,2 > N/2 の時　---> マイク２に近い

　これはサンプリング周波数 Fs（ = 8200Hz）、データ数 N（ = 1024）、音速 V（ = 340m/s）と現在の音場の広さ（マイク間の距離）の関係から導くことができます。

　位相差（サンプル差） N/2 = 512 は
　　　V x N/2/Fs = 340 x 512 / 8200 = 21.2m
の距離差に相当しますが、約20m四方の音場とマイク配置から最大距離差は約15mとなります。　従って、この条件下では距離差が20mを越えることはないわけです。

　また、音源がマイク２に近い場合は（N - 本来の位相差）がδ_1,2として得られるので、この場合 本アプレットでは本来の位相差（N - δ_1,2）をマイナス表示にしています。